Trouver un n-uplet
qui maximise

Sachant que

La video : L'optimisation mathématique a du charme (video Youtube)

En fait il y a n-uplets vérifiant la contrainte sur la somme.

Soit un entier faisant partie du n-uplet qui maximise le produit. il est évidemment différent de 1 et il ne peut être égal à 4 par qu'on le remplacerait par 2x2. Mais si , alors et donc en remplaçant par on obtiendrait un produit plus grand. Donc

Reste donc 2 et 3

Mais et , donc 3 a plus de poids que 2 dans le produit sous la contrainte.

Conclusion :
La solution ne doit comporter que des 2 et des 3, avec un maximum de "3"

Comme 2023= 674x3+1 mais que 1 ne convient pas on prend 2023=673x3+4 et donc le maximum recherché est

gnuplot:
pmax(s) = (s%3==0)?"3^".(s/3):(s%3)==2?"3^".(s/3)."*2":"3^".(s/3-1)."*2^2"
print pmax(2023) # 3^673*2^2

Dans ℤ, il n'y a pas de solution maximale, puisque si on en a une on ajoute et on ne change pas la somme mais on multiplie le produit par 4 !

De même dans ℂ puisque il suffit d'ajouter les quatre complexes dont le produit vaut 4 et la somme vaut 0

Pour les réels, il faut pour la même raison se restreindre aux réels positifs. Donc la question est : peut-on dépasser le maximum précédent en utilisant des réels positifs ?

si est le réel le plus "puissant", on ne va mettre que des dans le produit. en effet :

Donc on s'intéresse à

dont la dérivée est
Qui s'annule en un seul point quand

Il reste à vérifier que c'est bien un maximum et pas un minimum, mais c'est assez simple. Il vaut environ

Reste que l'on veut un n-uplet et que n'est pas entier !
L'astuce est de prendre fois le nombre et de rajouter pour que la somme vaille exactement 2023

On obtient , qui est environ 16 fois plus grand que le produit qu'on obtient avec des entiers. (j'avoue qu'il faut une calculette "sérieuse" pour s'en rendre compte, vu que le type "double" de C ne va que jusque 1.79769e308)

744 est le nombre entier tel que soit le plus proche possible de la constante d'Euler

Cette vidéo soulève d'intéressantes questions :

exemple :

Donc respecte les contraintes.
peut-on faire plus grand que 4042 ? bien sûr !

Peut-on faire encore plus grand ? oui, car pour réels positifs et un entier naturel donné,

On choisit donc un entier , on pose , la somme de ce 2k-uplet est 2023, mais le produit peut être aussi grand qu'on veut puisque on a le choix de

Conclusion : il n'y a pas de solution maximale.